五种正多面体_范文大全

五种正多面体

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问题一:为什么正多面体的分类只有五种

正多面体只能有五种,用正三角形做面的正四面体、正八面体,正二十面体,用正方形做面的正六面体,用正五边形做面的正十二面体。

证明  顶点数V,面数F,棱数E

设正多面体的每个面是正n边形,每个顶点有m条棱。棱数E应是面数F与n的积的一半(每两面共用一条棱),即

nF=2E -------------- ①

同时,E应是顶点数V与m的积的一半,即 正多面体

mV=2E -------------- ②

由①、②,得

F=2E/n, V=2E/m,

代入欧拉公式V+F-E=2,

2E/m+2E/n-E=2

整理后,得1/m+1/n=1/2+1/E.

由于E是正整数,所以1/E>0。因此 正多面体

1/m+1/n>1/2 -------------- ③

说明m,n不能同时大于3,否则1/m+1/n<1/2,即

③不成立。另一方面,由于m和n的意义(正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数)知,m≥3且n≥3。因此m和n至少有一个等于3

当m=3时,因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数,所以n只能是3,4,5

同理n=3,m也只能是3,4,5

所以有以下几种情况:n m 类型

3 3 正四面体

4 3 正六面体 正多面体

3 4 正八面体

5 3 正十二面体

3 5 正二十面体

由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出,而不可能有其他种类的正多面体

所以正多面体只有5种

相同表面积的四面体、六面体、正十二面体、以及正二十面体,其中体积最大的 正多面体

是:正二十面体。

或者这么证明:

假设每个顶点由m个正n边形组成,由于每个顶点的角度必须小于360度,否则就成了平面了,可得: 鼎

m*(1-2/n)*180<360→m*(n-2)<2n→mn-2m-2n<0→mn-2m-2n+4<4→(m-2)(n-2)<4→m,n组合为:3,3;3,4;3,5;4,3;5,3几种

问题二:为什么正多面体只有五种?

设正多面体的每个面是正n边行,每个顶点是m条棱,于是,棱数E应是F(面数)与n的积的一半,即

Nf=2E -------------- 1式

同时,E应是V(顶点数)与M的积的一半,即

mV=2E -------------- 2式

由1式、2式,得

F=2E/n, V=2E/m,

代入欧拉公式

V+F-E=2,

2E/m+2E/n-E=2

整理后,得1/m+1/n=1/2+1/E.

由于E是正整数,所以1/E>0。因此 1/m+1/n>1/2 -------------- 3式

3式说明m,n不能同是大于3,否则3式不成立。另一方面,由于m和n的意义(正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数)知,m>=3且n>=3。因此m和n至少有一个等于3

当m=3时,因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数,所以n只能是3,4,5

同理n=3,m也只能是3,4,5

所以

n m 类型

3 3 正四面体

4 3 正六面体

3 4 正八面体

5 3 正十二面体

3 5 正二十面体

由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出,而不可能有其他种类的正多面体

所以正多面体只有5种

问题三:为什么世界上只有5种正多面体

太简单了 考虑能够构成正多面体的正多边形只有 三角形、正方形、正五边形 因为从一个顶点至少向外发3条楞,也即正多边形顶角小于120度 这样一个顶点处就有五种情况: 三个正三角形(正四面体) 四个正三角形(正八面体) 五个正三角形(正二十面体) 三个正方形(立方体) 三个正五边形(正十二面体)

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问题四:为什么只有五种正多面体?

正多面体的定义:

所谓正多面体,是指多面体的各个面都是全等的正多边形,并且各个多面角都是全等的多面角。例如,正四面体(即正棱锥体)的四个面都是全等的三角形,每个顶点有一个三面角,共有四个三面角,可以完全重合,也就是说它们是全等的。

正多面体的种数很少。多面体可以有无数,但正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中面数最少的是正四面体,面数最多的是正二十面体。有些化学元素的结晶体呈正多面体的形状,如食盐的结晶体是正六面体,明矾的结晶体是正八面体。

古希腊的毕达哥拉斯学派曾对五种小多面体作过专门研究,并将研究成果拿到柏拉顿学校教授。故而,西方数学界也将这五种正多面体称为柏拉顿立体。

类型 面数 棱数 顶点数 每面边数 每顶点棱数

正4面体 4 6 4 3 3

正6面体 6 12 8 4 3

正8面体 8 12 6 3 4

正12面体 12 30 20 5 3

正20面体 20 30 12 3 5

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