斯特瓦尔特定理_范文大全

斯特瓦尔特定理

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问题一:斯特瓦尔特定理的定理内容

斯特瓦尔特(Stewart)定理:设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D,则有AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。

定理内容

设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D,则有:

AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。

证明方法

证明:

在图2-6中,作AH⊥BC于H。为了明确起见,设H和C在点D的同侧,那么由广勾股定理[2] 有:

AC²=AD²+DC²-2DC·DH

斯特瓦尔特定理

AB²=AD²+BD²+2BD·DH

用BD乘(1)式两边得:

AC²·BD=AD²·BD+DC²·BD-2DC·DH·BD

用DC乘(2)式两边得:

AB²·DC=AD²·DC+BD²·DC+2BD·DH·DC

由 ① + ② 得到:

AC²·BD+AB²·DC=AD²·(BD+DC)+DC²·BD+BD²·DC

=AD²·BC+BD·DC·BC。

∴AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。

或者根据余弦定理得:

AB²=PB²+PA²-2PB·PA·cos∠APB

AC²=PA²+PC²-2PA·PC·cos∠APC

对上述两式分别乘以BP,PC后相加整理,化简即可

斯特瓦尔特定理的逆定理成立。

推论

斯特瓦尔特定理还有如下推论

(1)若AB=AC,则AD^2=AB^2-BD·DC;

(2)若AP为BC中线,则AP²=1/2(AB²+AC²)-1/4BC² (即中线长定理);

(3)若AP为∠A内角平分线,则AP²=AB·AC﹣BP·PC (即角平分线长定理);

(4)若AP为∠A外角平分线,则AP²=﹣AB·AC+BP·PC;

(5)若BP/BC=λ,则AP²=λ·﹙λ﹣1﹚·BC²+﹙1﹣λ﹚·AB²+λ·AC²。

并且斯特瓦尔特定理与托勒密定理和张角定理可以互化。

问题二:如何用斯特瓦尔特定理证明托勒密定理 50分

AHFE是圆内接四边形

AH=a

AE=d

HF=b

FE=c

AF=e

HE=f

cos角HFE=(b^2+c^2-f^2)/2bc

cos角HAE=(a^2+d^2-f^2)/2ad

因为角互补,所以cos角HFE+ cos角HAE=0

所以(b^2+c^2-f^2)/2bc+(a^2+d^2-f^2)/2ad=0

所以ad(b^2+c^2-f^2)+bc(a^2+d^2-f^2)=0

同理cos角AHF+ cos角AEF=0

cd(a^2+b^2-e^2)+ab(c^2+d^2-e^2)=0

(ab+cd)(bd+ac)=ad(b^2+c^2)+bc(a^2+d^2)=f^2(ad+bc)注意这个式子很重要!!

(ad+bc)(ac+bd)=cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2)=e^2(ab+cd)注意这个式子很重要!!

相乘

ac+bd=ef

得到了托勒密定理

附加一句,斯特瓦尔特定理就是用余弦定理搞定的。

问题三:斯特瓦尔特定理的推论

斯特瓦尔特定理还有如下推论(1)若AB=AC,则AD^2=AB^2-BD·DC;(2)若AP为BC中线,则AP²=1/2(AB²+AC²)-1/4BC² (即中线长定理);(3)若AP为∠A内角平分线,则AP²=AB·AC﹣BP·PC (即角平分线长定理);(4)若AP为∠A外角平分线,则AP²=﹣AB·AC+BP·PC;(5)若BP/BC=λ,则AP²=λ·﹙λ﹣1﹚·BC²+﹙1﹣λ﹚·AB²+λ·AC²。并且斯特瓦尔特定理与托勒密定理和张角定理可以互化。

问题四:斯特瓦尔特定理的介绍

斯特瓦尔特(Stewart)定理:设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D,则有AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。

问题五:stewart 是什么定理,百度百科中的斯台沃特定理,斯图尔特定理,斯特瓦尔特定理哪个是这个,求链接

baike.baidu.com/...ZSdMT_

问题六:求数学斯特瓦尔特定理解法

内容:如图,设a,b和 c是三角形的边长,d是切氏线的长度;该线段将a边分为长度为m和n的两段。那么,Stewart定理说明

mb^2+nc^2=a(d^2+mn).

证明:设θ是m和d的夹角,θ'是n和d的夹角。θ+θ'=π,cos θ′ = −cos θ。那么,根据余弦定理:

c^2=m^2+d^2-2mdcosθ,

b^2=n^2+d^2-2ndcosθ'=n^2+d^2+2ndcosθ;

第一式两边乘以n,第二式两边乘以m,相加消去参数θ,即得

mb^2+nc^2=nm^2+mn^2+(m+n)d^2=a(d^2+mn)

应用:当你看到有AB和AC平方和AP平方时就能用

一般用于计算

证明中与定比分点公式一起用

具体例题我倒是没有

具体情况具体分析

有问题就问我

参考资料:baike.baidu.com/image/425773221081e5934723e820

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